Расстояние между двумя точками. I. Расстояние между двумя точками Расстояние между точками в пространстве

В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.

Определение 1

Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

Исходные данные: координатная прямая O x и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число х A , оно же – координата точки А.

В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой О А отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка O A по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату - 4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние О А равно 3 ; во втором случае О А = 4 .

Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4 111 .

Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна 11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то O A = x A (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то O A = - x A . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа x A .

Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:

• 0, если точка совпадает с началом координат;

• x A , если x A > 0 ;

• - x A , если x A < 0 .

При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой x A : O A = x A

Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B , лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты x A и x B: A B = x B - x A .

Исходные данные: точки A и B , лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат O x y с заданными координатами: A (x A , y A) и B (x B , y B) .

Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат O x и O y и получим в результате точки проекции: A x , A y , B x , B y . Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:

Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;

Если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси O x (оси абсцисс), то точки и совпадают, а | А В | = | А y B y | . Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то A y B y = y B - y A , а, следовательно A B = A y B y = y B - y A .

Если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси O y (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: A B = A x B x = x B - x A

Если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:

Мы видим, что треугольник А В С является прямоугольным по построению. При этом A C = A x B x и B C = A y B y . Используя теорему Пифагора, составим равенство: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , а затем преобразуем его: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Исходные данные: прямоугольная система координат O x y z с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо определить расстояние между этими точками.

Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: A x B x , A y B y и A z B z

Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Преобразуем выражение:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Полученная формула действительна также для случаев, когда:

Точки совпадают;

Лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.

Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками

Исходные данные: задана координатная прямая и точки, лежащие на ней с заданными координатами A (1 - 2) и B (11 + 2) . Необходимо найти расстояние от точки начала отсчета O до точки A и между точками A и B .

Решение

1. Расстояние от точки начала отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Расстояние между точками A и B определим как модуль разности координат этих точек: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Ответ: O A = 2 - 1 , A B = 10 + 2 2

Пример 2

Исходные данные: задана прямоугольная система координат и две точки, лежащие на ней A (1 , - 1) и B (λ + 1 , 3) . λ – некоторое действительное число. Необходимо найти все значения этого числа, при которых расстояние А В будет равно 5 .

Решение

Чтобы найти расстояние между точками A и B , необходимо использовать формулу A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Подставив реальные значения координат, получим: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

А также используем имеющееся условие, что А В = 5 и тогда будет верным равенство:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Ответ: А В = 5 , если λ = ± 3 .

Пример 3

Исходные данные: задано трехмерное пространство в прямоугольной системе координат O x y z и лежащие в нем точки A (1 , 2 , 3) и B - 7 , - 2 , 4 .

Решение

Для решения задачи используем формулу A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Подставив реальные значения, получим: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Ответ: | А В | = 9

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Лекция: Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы

Расстояние между двумя точками

Для нахождения расстояния между двумя точками на прямой в предыдущем вопросе мы использовали формулу d = х 2 – х 1.

Но, что касается плоскости, дела обстоят иначе. Не достаточно просто найти разность координат. Для нахождения расстояния между точками по их координатам следует воспользоваться следующей формулой:

Например, если у Вас имеются две точки с некоторыми координатами, то найти расстояние между ними можно следующим образом:

А (4;-1), В (-4;6):

АВ = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2) 1/2 ≈ 10,6.

То есть для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости необходимо найти корень из суммы квадратов разностей координат.

Если необходимо найти расстояние между двумя точками на плоскости, следует воспользоваться аналогичной формулой с дополнительной координатой:

Уравнение сферы

Для задания сферы в пространстве следует знать координаты её центра, а также её радиус, чтобы воспользоваться следующей формулой:

Данное уравнение соответствует сфере, центр которой находится в начале координат.

Если же центр сферы сдвинут на некоторое количество единиц по осям, то следует воспользоваться следующей формулой.

Расчет расстояний между точками по их координатам на плоскости элементарен, на поверхности Земли — немного посложнее: мы рассмотрим измерение расстояния и начального азимута между точками без проекционных преобразований. Для начала разберемся в терминологии.

Введение

Через любые две точки на поверхности сферы, если они не прямо противоположны друг другу (то есть не являются антиподами), можно провести уникальный большой круг. Две точки, разделяют большой круг на две дуги. Длина короткой дуги – кратчайшее расстояние между двумя точками. Между двумя точками-антиподами можно провести бесконечное количество больших кругов, но расстояние между ними будет одинаково на любом круге и равно половине окружности круга, или π*R, где R – радиус сферы.

На плоскости (в прямоугольной системе координат), большие круги и их фрагменты, как было упомянуто выше, представляют собой дуги во всех проекциях, кроме гномонической, где большие круги — прямые линии. На практике это означает, что самолеты и другой авиатранспорт всегда использует маршрут минимального расстояния между точками для экономии топлива, то есть полет осуществляется по расстоянию большого круга, на плоскости это выглядит как дуга.

Форма Земли может быть описана как сфера, поэтому уравнения для вычисления расстояний на большом круге важны для вычисления кратчайшего расстояния между точками на поверхности Земли и часто используются в навигации. Вычисление расстояния этим методом более эффективно и во многих случаях более точно, чем вычисление его для спроектированных координат (в прямоугольных системах координат), поскольку, во-первых, для этого не надо переводить географические координаты в прямоугольную систему координат (осуществлять проекционные преобразования) и, во-вторых, многие проекции, если неправильно выбраны, могу привести к значительным искажениям длин в силу особенностей проекционных искажений. Известно, что более точно описывает форму Земли не сфера, а эллипсоид, однако в данной статье рассматривается вычисление расстояний именно на сфере, для вычислений используется сфера радиусом 6372795 метров, что может привести к ошибке вычисления расстояний порядка 0.5%.

Формулы

Моя реализация на РНР

Статья взята с сайта

Согласно общепринятому положению, за начальный принят меридиан, который проходит через старую Гринвичскую обсерваторию в Гринвиче. Географические координаты местоположения можно получить с помощью GPS-навигатора. Этот прибор получает сигналы спутниковой системы позиционирования в системе координат WGS-84, единой для всего мира.

Модели навигаторов различаются по производителям, функционалу и интерфейсу. В настоящее время встроенные GPS-навигаторы имеются и в некоторых моделях сотовых телефонов. Но любая модель может записать и сохранить координаты точки.

Расстояние между координатами GPS

Для примера можно определить расстояние между следующими координатами: точка №1 - широта 55°45′07″ с.ш., долгота 37°36′56″ в.д.; точка №2 - широта 58°00′02″ с.ш., долгота 102°39′42″ в.д.

Наиболее простой способ - воспользоваться -калькулятором для расчета протяженности между двумя точками. В поисковике браузера необходимо задать следующие параметры для поиска: онлайн- для расчета расстояния между двумя координатами. В онлайн-калькуляторе вводятся значения широт и долгот в поля запросов для первой и второй координаты. При расчете онлайн-калькулятор выдал результат – 3 800 619 м.

Следующий способ более трудоемкий, но и более наглядный. Необходимо воспользоваться любой доступной картографической или навигационной программой. К программам, в которых можно создать точки по координатам и измерить расстояния между ними, относятся следующие приложения: BaseCamp (современный аналог программы MapSource), «Google Планета Земля», «SAS.Планета».

Все вышеперечисленные программы доступны для любого пользователя сети. К примеру, для расчета расстояния между двумя координатами в программе «Google Планета Земля» необходимо создать две метки с указанием координат первой точки и второй точки. Затем при помощи инструмента «Линейка» нужно соединить линией первую и вторую метки, программа автоматически выдаст результат промера и покажет путь на спутниковом снимке Земли.

В случае с примером, приведенным выше, программа «Google Планета Земля» выдала результат – протяженность расстояния между точкой №1 и точкой №2 составляет 3 817 353 м.

Почему возникает погрешность при определении расстояния

Пусть задана прямоугольная система координат.

Теорема 1.1. Для любых двух точек М 1 (х 1 ;у 1) и М 2 (х 2 ;у 2) плоскости расстояние d между ними выражается формулой

Доказательство. Опустим из точек М 1 и М 2 перпендикуляры М 1 В и М 2 А соответственно

на оси Оу и Ох и обозначим через К точку пересечения прямых М 1 В и М 2 А (рис. 1.4). Возможны следующие случаи:

1)Точки М 1 , М 2 и К различны. Очевидно, что точка К имеет координаты (х 2 ;у 1). Нетрудно заметить что М 1 К = ôх 2 – х 1 ô, М 2 К = ôу 2 – у 1 ô. Т.к. ∆М 1 КМ 2 прямоугольный, то по теореме Пифагора d = М 1 М 2 = = .

2) Точка К совпадает с точкой М 2 , но отлична от точки М 1 (рис. 1.5). В этом случае у 2 = у 1

и d = М 1 М 2 = М 1 К = ôх 2 – х 1 ô= =

3) Точка К совпадает с точкой М 1 , но отлична от точки М 2 . В этом случае х 2 = х 1 и d =

М 1 М 2 = КМ 2 = ôу 2 - у 1 ô= = .

4) Точка М 2 совпадает с точкой М 1 . Тогда х 1 = х 2 , у 1 = у 2 и

d = М 1 М 2 = О = .

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М 1 М 2 и пусть М ─ любая точка этого

отрезка, отличная от точки М 2 (рис. 1.6). Число l, определяемое равенством l = , называется отношением, в котором точка М делит отрезок М 1 М 2 .

Теорема 1.2. Если точка М(х;у) делит отрезок М 1 М 2 в отношении l, то координаты этой определяются формулами

х = , у = , (4)

где (х 1 ;у 1) ─ координаты точки М 1 , (х 2 ;у 2) ─ координаты точки М 2 .

Доказательство. Докажем первую из формул (4). Вторая формула доказывается аналогично. Возможны два случая.

х = х 1 = = = .

2) Прямая М 1 М 2 не перпендикулярна оси Ох (рис. 1.6). Опустим перпендикуляры из точек М 1 , М, М 2 на ось Ох и обозначим точки их пересечения с осью Ох соответственно Р 1 , Р, Р 2 . По теореме о пропорциональных отрезках = l.

Т.к. Р 1 Р = ôх – х 1 ô, РР 2 = ôх 2 – хô и числа (х – х 1) и (х 2 – х) имеют один и тот же знак (при х 1 < х 2 они положительны, а при х 1 > х 2 отрицательны), то

l = = ,

х – х 1 = l(х 2 – х), х + lх = х 1 + lх 2 ,

х = .

Следствие 1.2.1. Если М 1 (х 1 ;у 1) и М 2 (х 2 ;у 2) ─ две произвольные точки и точка М(х;у) ─ середина отрезка М 1 М 2 , то

х = , у = (5)

Доказательство. Так как М 1 М = М 2 М, то l = 1 и по формулам (4) получаем формулы (5).

Площадь треугольника.

Теорема 1.3. Для любых точек А(х 1 ;у 1), В(х 2 ;у 2) и С(х 3 ;у 3), не лежащих на одной

прямой, площадь S треугольника АВС выражается формулой

S = ô(х 2 – х 1)(у 3 – у 1) – (х 3 – х 1)(у 2 – у 1)ô (6)

Доказательство. Площадь ∆ АВС, изображённого на рис. 1.7, вычисляем следующим

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Вычисляем площади трапеций:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Теперь имеем

S ABC = ((х 3 – х 1)(у 3 + у 1) + (х 3 – х 2)(у 3 + у 2) - (х 2 – -х 1)(у 1 + у 2)) = (х 3 у 3 – х 1 у 3 + х 3 у 1 – х 1 у 1 + + х 2 у 3 – -х 3 у 3 + х 2 у 2 – х 3 у 2 – х 2 у 1 + х 1 у 1 – х 2 у 2 + х 1 у 2) = (х 3 у 1 – х 3 у 2 + х 1 у 2 – х 2 у 1 + х 2 у 3 –

Х 1 у 3) = (х 3 (у 1 – у 2) + х 1 у 2 – х 1 у 1 + х 1 у 1 – х 2 у 1 + у 3 (х 2 – х 1)) = (х 1 (у 2 – у 1) – х 3 (у 2 – у 1) + +у 1 (х 1 – х 2) – у 3 (х 1 – х 2)) = ((х 1 – х 3)(у 2 – у 1) + (х 1 – х 2)(у 1 – у 3)) = ((х 2 – х 1)(у 3 – у 1) –

- (х 3 – х 1)(у 2 – у 1)).

Для другого расположения ∆ АВС формула (6) доказывается аналогично, но может получиться со знаком «-». Поэтому в формуле (6) ставят знак модуля.

Лекция 2.

Уравнение прямой линии на плоскости: уравнение прямой с главным коэффициентом, общее уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

2.1. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат и некоторая линия L.

Определение 2.1. Уравнение вида F(x;y) = 0, связывающее переменные величины x и y, называется уравнение линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой прямой.

Примеры уравнений линий на плоскости.

1) Рассмотрим прямую, параллельную оси Oy прямоугольной системы координат (рис. 2.1). Обозначим буквой A точку пересечения этой прямой с осью Ox, (a;o) ─ её ор-

динаты. Уравнение x = a является уравнением данной прямой. Действительно, этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки M(a;y) этой прямой и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на прямой. Если a = 0, то прямая совпадает с осью Oy, которая имеет уравнение x = 0.

2) Уравнение x - y = 0 определяет множество точек плоскости, составляющих биссектрисы I и III координатных углов.

3) Уравнение x 2 - y 2 = 0 ─ это уравнение двух биссектрис координатных углов.

4) Уравнение x 2 + y 2 = 0 определяет на плоскости единственную точку O(0;0).

5) Уравнение x 2 + y 2 = 25 ─ уравнение окружности радиуса 5 с центром в начале координат.